Nghịch lý Russell hay vấn đề nền tảng của toán học và logic

Bertrand Arthur William Russell (18/05/1872 – 02/02/1970) là nhà triết học, toán học, logic học và sử học người Anh. Ông nhận được giải Nobel Văn học năm 1950.

 

Nghịch lý Russell được khám phá năm 1901 và có nhiều phiên bản. “Người thợ cạo làng Seville” là phiên bản ít trừu tượng nhất của nghịch lý này:

 

Chuyện kể rằng trong làng Seville chỉ có một ông thợ cạo. Tất cả những người đàn ông trong làng muốn cạo râu thì hoặc là tự cạo râu cho mình hoặc nhờ ông thợ cạo. Ông thợ cạo này tuyên bố “Tôi chỉ cạo râu cho tất cả đàn ông ở làng này không tự cạo râu.” Có một người hỏi ông: “Vậy ai cạo râu cho bác?” Ông thợ cạo lúng túng và nghịch lý xảy ra ở đây. Nếu ông “không cạo cho những người tự cạo râu” nghĩa là ông không cạo cho ông, như vậy thì ông thuộc nhóm không tự cạo râu. Nhưng nếu ông không tự cạo râu và lại tuyên bố “cạo râu cho những người không tự cạo râu” thì ông sẽ cạo râu cho ông và hoá ra ông lại tự cao râu cho mình.

 

 

Rusell diễn đạt ngắn gọn nghịch lý của mình như sau: “một tập hợp của tất cả các tập hợp không phải là thành phần của chính chúng thì tập hợp đó có phải là một thành phần của chính nó [tập hợp của tất cả các tập hợp] không?” (a set of all sets that are not members of themselves – is it a member of itself?)

 

Xét về khía cạnh toán học, câu chuyện này dùng để minh họa cho một loại mâu thuẫn gặp phải trong lý thuyết tập hợp: nếu S chứa chính nó thì theo định nghĩa của S, tập S không phải là một phần tử của S. Nếu S không chứa chính nó thì cũng do định nghĩa của S chính S lại là một phần tử của S. Các mệnh đề “S là một phần tử của S” và “S không là phần tử của S” cả hai không thể cùng xảy ra, đó chính là mâu thuẫn.

 

Hình bên trái: Một cái hộp chứa chính nó – một đối tượng phi thực tế. Hình bên phải: một tập hợp chứa chính nó – một sản phẩm của logic ngôn ngữ hình thức thuần tuý.

 

Xét về khía cạnh logic nghịch lý này có thể được diễn đạt như sau: ngôn ngữ hình thức có thể mô tả mối liên hệ giữa đối tượng khả thể mang các thuộc tính (người cạo râu/không tự cạo râu) và mối liên hệ giữa các thuộc tính của thuộc tính (không cạo – người tự cạo râu). Vì vậy, với logic hình thức, có thể “áp đặt” một số thuộc tính của thuộc tính có thể có hoặc không bao hàm “thuộc tính có sẵn” cho những “thuộc tính có sẵn”, ngay cả trong hoàn cảnh thực tế. Đó là vấn đề logic của việc “người thợ cạo chỉ cạo cho người không tự cạo râu” và vô vàn ví dụ khác.

 

Russell không đưa ra một câu trả lời rõ ràng tuy nhiên ông có nêu cách giải quyết bằng thuyết hình thái (type theory). Ông cho rằng chính sự luẩn quẩn của logic ngôn ngữ đã tạo nên nghịch lý này. Tất cả các đối tượng khả thể đều phải được khu biệt theo theo hình thái của chúng và vì vậy cần phải có một hệ thống phân cấp hình thái (hierarchy). Trong đó đối tượng khả thể (sự vật, hiện tượng, khái niệm) là một loại hình thái. Thuộc tính của các đối tượng, thuộc tính của thuộc tính đối tượng là những loại hình thái riêng biệt và độc lập. Rusell cho rằng về nguyên tắc không được gán ghép một thuộc tính bao hàm thuộc tính có sẵn như là một thuộc tính của chính đối tượng, nghĩa là không thể đưa ra một vấn đề mà tự nó đã tồn tại trong nó.

 

Nhà triết học toán học Göttlob Frege cho rằng nghịch lý Russell là một “run sợ về thuật toán”. Sau đó, để tránh sai lầm trên, người ta không dùng thuật ngữ tập hợp của tất cả các tập hợp” mà đề xuất một khái niệm tổng quát hơn là lớp”. Trong đó, người ta chỉ cần khoanh vùng một tập hợp bao gồm đủ nhiều các tập hợp nào đó (nhưng không phải là tất cả) để làm việc thì sẽ không phải gặp mâu thuẫn nữa. Nghịch lý này thúc đẩy Ernst Zermelo phát triển lý thuyết tập hợp tiên đề ngày nay trở thành lý thuyết tập hợp Zermelo – Fraenkel.

 Nguyễn Vương Tuấn tổng hợp

—–

Tài liệu tham khảo:

http://plato.stanford.edu/entries/russell-paradox/

https://thunhan.wordpress.com/2008/08/03/russell-paradox/

Chia sẻ bài viết này

Related Articles

Leave a Reply

VIỆN SOCIAL LIFE
Địa chỉ: lầu 2, Saigonuicom Building, 190B, Trần Quang Khải, Quận 1, TP.HCM
Điện thoại: 0983-634-482
Email: sociallife.study@gmail.com RSS Bài viết · RSS Bình luận
học NVivo, NVivo | Liên kết: Mua thuốc dài mi Careprost Ấn Độ
Website đang chạy thử nghiệm và chờ giấy phép Trang thông tin tổng hợp.
Powered by WordPress · Designed by Theme Junkie